کار در کلاس صفحه 19 حسابان دوازدهم
اگر $f(x) = x^4 - 16$ و $p(x) = x + 2$، نشان دهید که $f(x)$ بر $p(x)$ بخش‌پذیر است.
پاسخ تشریحی و گام به گام کار در کلاس صفحه 19 حسابان دوازدهم
این سوال مستقیماً به کاربرد **قضیه باقی‌مانده** در تعیین **بخش‌پذیری** توابع چندجمله‌ای اشاره دارد. این قضیه به ما کمک می‌کند بدون انجام تقسیم طولانی، بفهمیم آیا یک تابع بر تابع دیگری بخش‌پذیر است یا خیر.
---
### قضیه باقی‌مانده و بخش‌پذیری
قضیه باقی‌مانده می‌گوید: باقی‌مانده تقسیم یک چندجمله‌ای $f(x)$ بر $(x - a)$ برابر با **$f(a)$** است.
حالا، **بخش‌پذیری** چه زمانی اتفاق می‌افتد؟
یک چندجمله‌ای $f(x)$ بر $p(x)$ بخش‌پذیر است، اگر و تنها اگر **باقی‌مانده تقسیم برابر با صفر باشد**، یعنی: $$r(x) = 0$$
بنابراین، برای نشان دادن بخش‌پذیری $f(x)$ بر $p(x) = x+2$، کافی است نشان دهیم که باقی‌مانده تقسیم (یعنی $f(-2)$) برابر با صفر است.
### مراحل حل
#### گام 1: یافتن ریشه مقسوم‌علیه
مقسوم‌علیه ما $p(x) = x + 2$ است. برای استفاده از قضیه باقی‌مانده، باید آن را برابر با صفر قرار دهیم و $x$ را پیدا کنیم:
$$p(x) = x + 2 = 0 \implies x = -2$$
#### گام 2: محاسبه باقی‌مانده (با استفاده از قضیه باقی‌مانده)
باقی‌مانده تقسیم، $r(x) = f(-2)$ است. حالا $x = -2$ را در تابع $f(x)$ جایگزین می‌کنیم:
$$f(x) = x^4 - 16$$
$$f(-2) = (-2)^4 - 16$$
#### گام 3: نتیجه‌گیری
محاسبه توان 4 عدد $-2$:
$$(-2)^4 = (-2) \times (-2) \times (-2) \times (-2) = +16$$
$$f(-2) = 16 - 16 = 0$$
* چون **باقی‌مانده تقسیم ($f(-2)$) برابر با صفر شد**، طبق تعریف بخش‌پذیری، تابع $f(x)$ بر $p(x)$ **بخش‌پذیر است**.
**یادآوری:** این بخش‌پذیری به این معنی است که می‌توان $x^4 - 16$ را به صورت $(x+2)$ ضرب در یک چندجمله‌ای دیگر نوشت.
